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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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7. Sea f(x)=13x−2f(x)=\frac{1}{3 x-2}. Dar el dominio y la imagen de ff. Calcular f−1f^{-1} y hallar su dominio e imagen. Graficar ambas funciones.

Respuesta

Para la función f(x)=13x−2f(x)=\frac{1}{3x-2}, que fijate que es una homográfica, así que podríamos pensarla como:


ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d} 

donde a=0a=0, b=1b=1, c=3c=3 y d=−2d=-2



A partir de la fórmula entonces podemos determinar el dominio y la imagen fácilmente:


• Dominio de ff:


Domf=ℜ−{−dc}Dom f = \Re - \{ - \frac{d}{c}\}  (solo vale para funciones homográficas)


Domf=ℜ−{−−23}Dom f = \Re - \{ - \frac{-2}{3}\}


Domf=ℜ−{23}Dom f = \Re - \{ \frac{2}{3}\}



• Imagen de ff:


Imf=ℜ−{ac}Im f = \Re - \{ \frac{a}{c}\} (solo vale para funciones homográficas)


Imf =ℜ−{03}Im f = \Re - \{\frac{0}{3}\}


Imf =ℜ−{0}Im f = \Re - \{0\}




Ahora, vamos a calcular la función inversa f−1(x)f^{-1}(x).

Para encontrar la inversa, intercambiamos xx por yy y despejamos yy:

f(x)=13x−2f(x)=\frac{1}{3x-2}


x=13y−2x = \frac{1}{3y-2}  


3y−2=1x3y-2 = \frac{1}{x}


3y=1x+2 3y = \frac{1}{x} + 2


y=1+2x3xy = \frac{1+2x}{3x}

Así que la función inversa es f−1(x)=1+2x3xf^{-1}(x)=\frac{1+2x}{3x}, que, nuevamente es una función homográfica: ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d}. Vamos a reordenarla para que nos quede escrita de forma un poco más clara: 

f−1(x)=2x+13xf^{-1}(x)=\frac{2x+1}{3x} 
Entonces ahora tenemos que a=2a=2, b=1b=1, c=3c=3 y d=0d=0 


• Dominio de f−1f^{-1}:


Domf−1 =ℜ−{−dc}Dom f^{-1} = \Re - \{ - \frac{d}{c}\}  (solo vale para funciones homográficas)


Domf−1 =ℜ−{03}Dom f^{-1} =\Re - \{\frac{0}{3}\}


Domf−1 =0Dom f^{-1} = 0



• Imagen de f−1f^{-1}:


Imf−1 =ℜ−{ac}Im f^{-1} = \Re - \{ \frac{a}{c}\} (solo vale para funciones homográficas)


Im f−1 =ℜ− {23}Im f^{-1} = \Re - \{ \frac{2}{3}\}




¿Notaste algo? Sí, exacto, son funciones inversas, por lo tanto:

El Domf= Im f−1Dom f = Im f^{-1} y la Im f= Domf−1Im f= Dom f^{-1}
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Milagros
17 de septiembre 16:59
Profe por qué a es cero en los dos? No sería a=1?
0 Responder
Julieta
PROFE
19 de septiembre 13:09
@Milagros Gracias Mili!! en la de abajo había puesto cero. Ahí lo arreglé!
1 Responder
Mallo
17 de septiembre 16:39
profe consulta, no entiendo cuando haces la funcion inversa, no habria que pasar multiplicando 3y - 2 y hacer distributiva con la x? de donde salio la x que divide al 1?
0 Responder
Julieta
PROFE
19 de septiembre 15:39
@Mallo Hola! Se puede hacer de esa forma. Pero como del otro lado del igual solo hay un 1, me pareció buena idea pasar la x dividiendo a ese uno. Es decir, el denominador del lado derecho pasó multiplicando a la x. Pero a su vez, la x pasó diviendo al 1. Como que cambiaron lugares jajaja. Podés hacerlo en 2 pasos si te parece mejor. O también podés resolverlo como vos decís, haciendo la distributiva. Pero no tiene tanto sentido porque no tenés ninguna yy del lado derecho del igual.
0 Responder
Emilia
14 de septiembre 22:58
Hola profe, una consulta? porque para sacar la imagen pusiste -(-2/3)? no entiendo porque el valor de a es 0, no deberia ser 2?
0 Responder
Julieta
PROFE
16 de septiembre 10:16
@Emilia Hola Emi, da 2, creo que estas mirando el dominio
0 Responder